ALTRI PROBLEMI DELL’ALIENO

Il mio amico Alieno, del quale ignoro il nome, ma che affettuosamente chiamo “Monello” (per meno che scarne notizie sul medesimo rinvio al seguente indirizzo: https://ilproblemadellalieno.wordpress.com) forse a testimonianza del fatto che sul suo pianeta di origine è diffusa una aritmetica a due basi (probabilmente base 10 e base 30) propone, qui di seguito, quattro problemi (due dei quali insolubili).

L’attenta lettura delle tracce e delle soluzioni (per i due problemi insolubili, solamente soluzioni tentate) dovrebbe condurre alla convinzione (se non del tutto alla certezza) che quanto esposto di seguito non può essere farina del sacco di un perito industriale quale io (amanuense) sono.

F. U. (perito industriale)

SIMBOLI USATI

K (di seguito sempre usato con valore intero, positivo).

= uguale;

≃ circa uguale;

> (maggiore);

≥ (maggiore uguale);

< (minore);

≤ (minore uguale);

→ (segue);

∀N (ogni numero);

∈ (appartiene); [simbolo poco usato ]; di seguito non è stato mai usato il simbolo: ∉ (non appartiene);

(┬) [simbolo non omologato]; [simbolo che intende significare: termina con…; oppure: deve terminare con…]; nei problemi proposti resta un simbolo importantissimo.

es.: {∀N∈[55,07+(K*600)]}(┬)(7/100); andrà letto: <<ogni numero appartenente alla serie cinquantacinque virgola zero sette, più K volte seicento (con K intero, positivo, oppure: K=0) termina sempre con la cifra sette centesimi>>.

≠ (diverso da…);

≡ (congruità aritmetica);

es.:

a≡b(modn); si deve leggere a e b sono congrui modulo n (ovvero, e sicuramente, sarebbe meglio leggere: a congruo b modulo n); nella precedente si intende (a-b) multiplo di n, e quindi {(a-b)/n} rende un numero intero; cioè: n divide (a-b).

es.: 67,012≡7,012(mod.30); si deve leggere: sessantasette virgola zero dodici è congruo sette virgola zero dodici modulo trenta. Nella precedente resta inteso:

(67,012-7,012)≡0(mod.30);

⇒ (implica);

⇐ (solo se; di seguito usato sempre per indicare: <<implicato da…>>);

es.:

4,173604117(┬)(173604117/10⁹)≠(41/10³)⇐

⇐ {∀N≡(x₂*842,6)(mod43)}(┬)(41/10³);

[l’esempio in voce è tratto da un esercizio veramente svolto; (vd. di seguito)]. Esso deve essere letto:

4,173604117(termina con 173604117/10⁹ che è diverso da41/10³ (valore) implicato dalla serie: ogni numero congruo con x₂ moltiplicato 842,6 mod 43 deve terminare con le cifre decimali 41/10³).

÷ (intervallo numerico, (detto obelo?)).

Ʃ_R (sommatoria di resti).

R = resto;

(R.D.) = Resto desiderato;

R_{(m. a.)}= resto media aritmetica;

(G.M.) = media geometrica;

Il simbolo: {K∈[ ℕ ]}; indica sempre: il valore K appartiene all’ordine dei numeri naturali; non è mai stato usato il simbolo indicante l’insieme dei numeri razionali [ℚ ];

{Sono stati usati anche il pedice e l’apice}.

Per evidenziare cifre ritenute importanti (ai fini del ragionamento) è stata usata la sottolineatura delle stesse.

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I PROBLEMA PROPOSTO

Si cerca (sempre che esista) la serie dei numeri razionali che (tutti) soddisfino le seguenti quattro:

• ∀N(┬)0^.579,041;
• ∀N≡(x₁*324,8)(mod30);
• ∀N≡(x₂*842,6)(mod43);
• ∀N≡(x₃+425,5)(mod19);

Note

1. I valori (x₁), (x₂), (x₃), devono essere positivi;

2. Il valore (x₁*324,8) che concretizza un resto, deve essere il più prossimo possibile (cioè deve tendere) a (23/19) della media aritmetica dei valori dei tre resti che si ottengono dalla soluzione della seguente: ∀N≡(x₁*324,8)(mod30);

3. Il valore (x₂*842,6) che concretizza un resto, deve essere il più prossimo possibile (cioè deve tendere) a (29/23) della media geometrica dei seguenti tre resti:

• R₁ = (resto minore);
• R₂ = (resto maggiore);
• R₃ = R_(m.a.) = (resto media aritmetica);

di tutti i resti che si ottengono dalla soluzione della seguente: ∀N≡(x₂*842,6)(mod43);

4. Il valore (x₃) deve essere il più piccolo possibile.

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I Preliminare

0^.579,041(┬)(41/1^.000); ⇒

⇒ {∀N≡(x₃+425,5)(mod19)}(┬)(41/1^.000)];

[Conseguenza della prima imposta dal problema, che recita: <<ogni numero della serie cercata deve terminare con le cifre: 0^.579,041>>, e quindi necessariamente deve terminare con le cifre 41/1^.000].

Ogni numero intero moltiplicato 19, rende un numero intero; cosa che necessariamente implica la seguente:

(x₃+425,5)(┬)(41/1^.000);

(cioè le cifre decimali si concentrano nel resto della congruità in parola) →

→ 426,041 è il numero, terminante con 41/1^.000, appena superiore a 425,5; →

→ 426,041>425,5; → (x₃+425,5)=426,041; →

→ x₃=(426,041-425,5)=0,541;→ {∀N≡(x₃+425,5)(mod19)} ⇒

⇒ {∀N≡(0,541+425,5)(mod19)} → {∀N≡426,041(mod19)} →

→ {∀N≡8,041(mod19)}; →

→ {∀N≡8,041(mod19)}(┬)(41/1^.000);

[con x₃ =0,541; valore positivo e più piccolo possibile].

(Qui termina il I Preliminare).

___________________________

II Preliminare

I parte: ricerca delle ultime tre cifre (decimali) di ogni resto che si ottiene dalla soluzione della seguente:

∀N≡(x₂*842,6)(mod43);→

________

0^.579,041(┬)(41/1^.000);⇒

⇒ {∀N≡(x₂*842,6)(mod43)}(┬)(41/1^.000);

[Conseguenza della prima imposta dal problema, che recita: <<ogni numero della serie cercata deve terminare con le cifre: 0^.579,041>>, e quindi necessariamente deve terminare con le cifre 41/1^.000].

Ogni numero intero moltiplicato 43, rende un numero intero; cosa che necessariamente implica la seguente:

(x₂*842,6)(┬)(41/1^.000);

(cioè le cifre decimali si concentrano nel resto della congruità in parola). →

________________

II Preliminare

II parte: ricerca del resto utile (richiesto dal problema) della seguente:

∀N≡(x₂*842,6)(mod43); →

________________

→ <<Il valore (x₂*842,6) che concretizza un resto, deve essere il più prossimo possibile (cioè deve tendere) a (29/23) della media geometrica dei seguenti tre resti:

• R₁ = (resto minore);
• R₂ = (resto maggiore);
• R₃ = R_(m.a.);

di tutti i resti che si ottengono dalla soluzione della seguente:

∀N≡(x₂*842,6)(mod43)>>; [Vd. Nota 3].→

→ I resti che si ottengono dalla soluzione della precedente (evidentemente al variare di x₂) sono 43; [mallevadòre (ma credo, sempre che la lingua italiana lo consenta, sia meglio scrivere: mallevadòria; termine di seguito sempre usato al posto di mallevadòre): “algoritmo dell’orologio in base 43”].

Essi (resti) sono racchiusi nell’intervallo [(0,041÷42,041); con incremento=1]. {Vd. anche: II Preliminare, I parte;} →

• (0,041+1,041)=1,082;
• [(1,041*2,041)/2]=1,0623405; →

→ [1,082-1,0623405]=0,0196595; →

• (0,041+1,041+2,041)=3,123;
• [(2,041*3,041)/2]=3,1033405; →

→ [3,123-3,1033405]=0,0196595;

e così di seguito fino alla somma (Ʃ_R) di tutti i resti:

Ʃ_R = (0,041+1,041+2,041 + … … +42,041) =

= {[(42,041*43,041)/2]+0,0196595}=904,763;

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oppure (e più semplicemente):

Ʃ_R=[(42*43)/2)+(43*0,041)]=(903+1,763)=904,763;→

{Comunque effettuando la somma dei 43 resti raccolti nel seguente intervallo: [(0,041÷42,041) con incremento = 1], si ottiene: 904,763};→

____________________

• Ʃ_R=904,763;→
• R₃=R_(m.a.)=[(904,763)/43]=21,041=[(0,041+42,041)/2]=[nella quale R_(m.a.) è il resto media aritmetica di tutti i resti che si ottengono dalla soluzione della seguente]:

∀N≡(x₂*842,6)(mod43); [Vd. Nota 3] →

→

• R₁= 0,041; [resto minore];
• R₂=42,041; [resto maggiore];
• R_(m.a.)=21,041; [resto media aritmetica]; →

→ [Media geometrica (M.G.) dei precedenti tre resti]:

(R₁);(R₂);(R_(m.a.));→

→(M.G.)={(0,041*42,041*21,041)^1/3}=3,310099817; →

→

• (M.G.)=3,310099817;
• (29/23)(M.G.)={(29/23)*3,310099817}=

=4,173604117; →

→ 4,173604117(┬)(173604117/10⁹)≠(41/10³);

[le cifre terminali (41/10³) sono implicate dalla seguente]:

{∀N≡(x₂*842,6)(mod43)}(┬)(41/10³); [vd.II Preliminare, I parte]; →

riscrivendo quest’ultimo concetto, si otterrà:

4,173604117(┬)(173604117/10⁹)≠(41/10³)⇐

⇐ {∀N≡(x₂*842,6)(mod43)}(┬)(41/10³); [nella quale:

(il simbolo: ⇐ deve essere letto: implicato dalla)]. →

____________________________

→ 4,041< 4,173604117<5,041; →

• 4,173604117-4,041=0,132604117;
• 5,041-4,173604117=0,867395883; →

→ (0,132604117+0,867395883)=1=(5,041-4,041); →

→ 0,132604117<0,867395883; ⇒ 4,173604117→ (tende a)→

→ 4,041; (cosa che si nota anche dalla semplice osservazione); ⇒

⇒ {(x₂*842,6)}=4,173604117→(tende a) → 4,041; ⇒

⇒ {∀N≡(x₂*842,6)(mod43)}→ (tende a)→

→ {∀N≡(4,041)(mod43)};

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Forse è bene (comunque non è disdicevole) notare quanto segue:

• 4,041(┬)(41/10³);
• 4,041 → (tende a) → 4,173604117; perché [nell’intervallo numerico in esame: (4,041÷5,041)] vale la seguente: 4,173604117 → (tende a) → 4,041;

(Qui termina il II Preliminare).

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III Preliminare

È del tutto pleonastico (ma, nel presente contesto, non è del tutto vano) ricordare che qualsiasi numero intero moltiplicato 30 rende sempre un numero intero terminante con la cifra zero. →

• 0^.579,041(┬)9,041; ⇒
• {∀N≡(x₁*324,8)(mod30)}(┬)9,041;

[La precedente è implicata dal fatto che ogni numero della serie cercata deve terminare con le cifre: 0^.579,041; e quindi deve (necessariamente) terminare con le cifre: 9,041];

→ <<Il valore (x₁*324,8) che concretizza un resto, deve tendere a (23/19) della media aritmetica dei valori dei tre resti che si ottengono dalla soluzione della seguente:

∀N≡(x₁*324,8)(mod30);>>. [vd. Nota 2]. →

→ I tre resti che si ottengono dalla soluzione della:

{∀N≡(x₁*324,8)(mod30)}; sono:

• R₁=9,041;
• R₂=19,041;
• R₃=29,041;

Resti dedotti dal fatto che:

{∀N≡(x₁*324,8)(mod30)}(┬)9,041; [in proposito, vd. di seguito la “Giustificazione” (fuori ragionamento) dei tre resti (R₁), (R₂), (R₃);].

Si noti che i tre resti (in parola) terminano tutti con le cifre 9,041.

→ R_{(m. a.)} =[(R₁+R₂+R₃)/3]=[(9,041+19,041+29,041)/3]= 19,041; →

• R_{(m. a.)} =19,041;
• (23/19)R_{(m. a.)}=(23/19)*19,041=23,04963158; →

→ 23,04963158(┬)(4963158/10⁸)≠(41/10³) ⇐ (implicato dalla seguente):

⇐ {∀N≡(x₁*324,8)(mod30)}(┬)9,041; [Vd. Inizio III preliminare]; →

→ 19,041< 23,04963158<29,041; →

→ (23,04963158-19,041)=4,008631579; →

→ (29,041-23,04963158)=5,991368421; →

→ (4,008631579+5,991368421)=10=(29,041-19,041); →

→ 4,008631579<5,991368421; →

→ (x₁*324,8) → (tende a) → 19,041; ⇒

⇒ {∀N≡(x₁*324,8)(mod30)} ⇒ {∀N≡19,041(mod30)};

[Si noti che]: {∀N≡19,041(mod30)}(┬)9,041;

(Qui termina il III preliminare). →

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Giustificazione (fuori ragionamento) dei tre resti (R₁), (R₂), (R₃):

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0^.579,041=579,041; → 579,041≡9,041(mod30); →

→ incremento: [(10⁴)*43*19]=8^.170^.000; →

→8^.170^.000+579,041=8^.170^. 579,041; →

→ 8^.170^. 579,041≡19,041(mod30); →

8^.170^.000+8^.170^. 579,041=16^.340^.579,041; →

16^.340^.579,041≡29,041(mod30);

→ e così di seguito all’infinito (si ripeteranno sempre, ciclicamente, i tre resti appena ottenuti).

Nelle precedenti il (10⁴) si giustifica per il fatto che i numeri della serie devono terminare tutti con le cifre: 0^.579,041; numero che presenta quattro cifre intere.

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Riscrittura delle quattro imposte dal problema (compreso lo 0 iniziale)

∀N(┬)0^.579,041;

{∀N≡(x₁*324,8)(mod30)} ⇒ {∀N≡19,041(mod30)};

[Vd. III Preliminare];

{∀N≡(x₂*842,6)(mod43)} ⇒ {∀N≡4,041(mod43)};

[Vd. II Preliminare];

{∀N≡(x₃+425,5)(mod19)} ⇒ {∀N≡8,041(mod19)};

[Vd. I Preliminare].

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Quarto (ed ultimo) Preliminare

Se esiste una serie di numeri razionali che (tutti) soddisfano le riscritte quattro, esiste un solo numero razionale (N₀) che soddisfa le quattro in voce e contemporaneamente rispetta (anche) la seguente:

0^.579,041≤(N₀)<[(10⁴)*19*43*3]; →

→ 579,041≤(N₀)<24^.510^.000; → [l’esponente 4 si giustifica per il fatto che il numero 0^.579,041 presenta quattro cifre intere che devono sempre essere rispettate]. →

→ (N₀) sarà numero di testa della seguente (e risolutiva) serie:

[(N₀)+(K*24^.510^.000)]; Nella quale: {K∈[N]}; cioè K appartiene all’ordine dei numeri naturali. →

→ Per risolvere il problema bisogna individuare il valore di (N₀).

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TENTATIVO DI SOLUZIONE

∀N≡8,041(mod19); [vd. Le riscritte quattro] →

→ 8,041≡8,041(mod43)≠4,041(mod43);

[4,041(mod43)]=[(R.D.) in base 43]; nella quale: [(R.D.)=resto desiderato; vd. “riscrittura delle quattro imposte dal problema”]→

→ Algoritmo dell’orologio (in base 43)

Incremento=19; →

→ [(19*0)+8,041]≡8,041(mod43)];

→ [(19*1)+8,041]≡27,041(mod43)]; →

→ Nelle due precedenti vale: (27,041-8,041) = (+19); [(+19) = incremento dei resti;].

→ [(19*0)+8,041]≡8,041(mod43)]; ripetuto

→ [(19*1)+8,041]≡27,041(mod43)]; ripetuto →

→ [(19*2)+8,041]≡3,041(mod43)];

→ [(19*3)+8,041]≡22,041(mod43)];

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→ [(19*4)+8,041]≡41,041(mod43)];

→ [(19*5)+8,041]≡17,041(mod43)];

→ [(19*6)+8,041]≡36,041(mod43)];

____________________________

→ [(19*7)+8,041]≡12,041 (mod43)];

→ [(19*8)+8,041]≡31,041 (mod43)];

→ [(19*9)+8,041]≡7,041; (mod43)];

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Ricerca del resto desiderato = 4,041;

[(0)⇒ R=8,041]; → [(9)⇒ R=7,041]; → [(18)⇒R= 6,041] →

[(27)⇒ R=5,041]; → [(36)⇒ R=4,041=(R.D.) in base 43];

oppure:

[(7)⇒ R=12,041]; → [(0)⇒ R=8,041]; → [(0-7)+43=36]⇒ [(36)⇒R=4,041];

Verifica:

→ [(19*36)+8,041]=692,041; → 692,041≡4,041(mod43);verificato; →

→ Esame numero: 692,041;

692,041≡8,041(mod19);verificato;

692,041≡4,041(mod43);verificato;

692,041(┬)2,041≠9,041; ⇐

⇐ {∀N≡(x₁*324,8)(mod30)}(┬)9,041;[Vd. III Preliminare];→

ALGORITMO DELL’ OROLOGIAIO (dico: orologiaio);

692,041(┬)692,041≠0^.579,041;

[Nota: i numeri 0^.579,041; e 692,041 hanno in comune le cifre terminali: 0,041; cioè le cifre decimali].

1) ricerca cifra delle unità

• [9-2]=7;
• Incremento base: [(10⁰)*43*19]=817;

817*1=817; →

→ (817,000+692,041)=1^.509,041(┬)1^.509,041≠0^.579,041;

[Nota: i numeri 0^.579,041; e 1^.509,041 hanno in comune le cifre terminali: 9,041;].

2) ricerca cifra delle decine

• [7-0]=7;
• Incremento base: [(10¹)*43*19]=8^.170;

8^.170*1=8^.170;

(8^.170,000+1^.509,041)=9^.679,041(┬)9^.679,041≠0^.579,041;

[Nota: i numeri 0^.579,041; e 9^.679,041 hanno in comune le cifre terminali: 79,041;].

3) ricerca cifra delle centinaia

[5<6] → [15-6]=9;

Incremento base: [(10²)*43*19]=81^.700;

81^.700*7=571^.900;→

→ (571^.900,000+9^.679,041)=581^.579,041(┬)1^.579,041≠

≠ 0^.579,041;

[Nota: i numeri 0^.579,041; e 581^.579,041 hanno in comune le cifre terminali: 579,041;].

4) ricerca cifra delle migliaia

[0<1] → [10-1]=9;

Incremento base: [(10³)*43*19]=817^.000;→

→ 817^.000*7=5^.719^.000; →

→ 5^.719^.000,000 + 581^.579,041=6^.300^.579,041(┬)0^.579,041; →

→ Esame numero: 6^.300^.579,041;

→ 6^.300^.579,041(┬)0^.579,041; →

→ 6^.300^.579,041≡9,041(mod30)≠19,041(mod30);⇐

⇐ {∀N≡19,041(mod30)}; ⇐ {∀N≡(x₁*324,8)(mod30)};

[Vd. III Preliminare, nel seguente punto]:

{∀N≡(x₁*324,8)(mod30)} ⇒ {∀N≡19,041(mod30)};

[Infine si noti che: {∀N≡19,041(mod30)}(┬)9,041;] →

→ Algoritmo (base 30)

6^.300^.579,041; [numero di riferimento];

Incremento base: [(10⁴)*43*19]=8^.170^.000;

[l’esponente 4 si giustifica per il fatto che il numero 0^.579,041 presenta quattro cifre intere che devono sempre essere rispettate].

→ 8^.170^.000,000+6^.300^.579,041=14^.470^.579,041;

14^.470^.579,041(┬)0^.579,041;

14^.470^.579,041≡19,041(mod30); verificato; → 19,041(mod30)=(R.D.);

Esame numero: 14^.470^.579,041; →

14^.470^.579,041(┬)0^.579,041;

14^.470^.579,041≡19,041(mod30); verificato;

14^.470^.579,041≡4,041(mod43); verificato;

14^.470^.579,041≡8,041(mod19); verificato;

0^.579,041<14^.470^.579,041<24^.510^.000; ⇒

⇒ 14^.470^.579,041=(N₀); [vd. IV Preliminare]; →

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RISPOSTA AL PROBLEMA

∀N∈{14^.470^.579,041+(K*24^.510^.000)}(┬)0^.579,041;

∀N∈{14^.470^.579,041+(K*24^.510^.000)}≡19,041(mod30);

∀N∈{14^.470^.579,041+(K*24^.510^.000)}≡4,041(mod43);

∀N∈{14^.470^.579,041+(K*24^.510^.000)}≡8,041(mod19);

Le parentesi graffe scritte in rosso sono dovute al fatto che la sbavatura è stata notata dal mio amico Monello.

altri valori notevoli sono:

x₁=(19,041/324,8)=(19^.041/324^.800);

x₂=(4,041/842,6)=(4^.041/842^.600);

x₃=0,541=(541/1^.000);

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infine: {∀K∈[ℕ]};

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II PROBLEMA PROPOSTO

Si cerca (sempre che esista) la serie dei numeri razionali che (tutti) soddisfano le seguenti quattro:

∀N(┬)6^.003,2;

∀N≡23,2(mod30);

∀N≡(x₁*36,4)(mod53);

∀N≡(x₂*53,6)(mod79);

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TENTATIVO DI SOLUZIONE

[NOTA: si può approfittare del fatto che è noto il resto per il (mod30)].

6^.003,2≡3,2(mod30); → 3,2(mod30)≠23,2(mod30); →

→ [Incremento=10⁴]; →

→ (10^.000,0+6^.003,2) = 16^.003,2; →

→ 16^.003,2≡13,2(mod30); → 13,2(mod30)≠23,2(mod30); →

→ (10^.000,0+16^.003,2)= 26^.003,2; →

→ 26^.003,2≡23,2(mod30);

Esame numero: 26^.003,2;

→ 26^.003,2(┬)6^.003,2;

→ 26^.003,2≡23,2(mod30); →

____________________

26^.003,2(┬)(2/10); ⇒

⇒ ∀N≡(x₁*36,4)(mod53)(┬)(2/10); →

(ovviamente si intende: deve terminare con 2/10);

[questo perché, evidentemente, come richiesto dal problema, alla fine dovrà essere: {∀N≡(x₁*36,4)(mod53)}(┬)26^.003,2;

e quindi necessariamente {∀N≡(x₁*36,4)(mod53)}(┬)(2/10);.

→ 4*3=12; → (x₁*36,4)=(3*36,4)=109,2; →

→ {∀N≡(x₁*36,4)(mod53)} ⇒ {∀N≡(3*36,4)(mod53)}; →

→ {∀N≡(109,2)(mod53)} ⇒ {∀N≡(3,2)(mod53)}; →

____________________

→ Algoritmo (in base 53);

Si noti che il numero 6^.003,2 ha quattro cifre intere; →

→ Incremento: [10⁴*3]=30^.000; →

→ 26^.003,2≡33,2(mod53);

56^.003,2≡35,2(mod53); →

86^.003,2≡37,2(mod53); →

116^.003,2≡39,2(mod53);

e così di seguito fino a:

1^.166^.003,2≡3,2(mod53); ⇒ 1^.166^.003,2≡109,2(mod53);

_____________________

Esame numero: 1^.166^.003,2;

1^.166^.003,2(┬)6^.003,2;

1^.166^.003,2≡23,2(mod30);

1^.166^.003,2≡3,2(mod53); →

_______________

1^.166^.003,2(┬)(2/10);

⇒∀N≡(x₂*53,6)(mod79);(┬)(2/10); →

→ 6*2=12; → (x₂*53,6)=(2*53,6)=107,2; →

→ {∀N≡(x₂*53,6)(mod79)} ⇒ {∀N≡(2*53,6)(mod79)}; →

→ {∀N≡(107,2)(mod79)} ⇒ {∀N≡(28,2)(mod79)};

__________________________

1^.166^.003,2≡42,2(md79) → 42,2(md79)≠28,2(md79); →

Algoritmo (in base 79);

→ Incremento: [10⁴*53*3]=1^.590^.000;

[(1^.590^.000*0)+1^.166^.003,2]≡ 42,2(mod79);

[(1^.590^.000*1)+1^.166^.003,2]≡ 9,2(mod79);

[(1^.590^.000*2)+1^.166^.003,2]≡ 55,2(mod79);

[(1^.590^.000*3)+1^.166^.003,2]≡ 22,2(mod79);

e così di seguito fino a:

[(1^.590^.000*10)+1^.166^.003,2]≡28,2(mod79); →

{Nota: nelle precedenti vale (anche) il seguente incremento dei resti: [9,2-42,2]=(-33)};

→ VERIFICA:

[(1^.590^.000*10)+1^.166^.003,2]=17^.066^.003,2; →

→ 17^.066^.003,2≡28,2(mod79); →

→ ESAME NUMERO: 17^.066^.003,2;

17^.066^.003,2(┬)6^.003,2;

17^.066^.003,2≡23,2(mod30);

17^.066^.003,2≡3,2(mod53); ⇒ 17^.066^.003,2≡109,2(mod53);

17^.066^.003,2≡28,2(mod79); ⇒ 17^.066^.003,2≡107,2(mod79);

__________________________

Le cifre (intere) di 6^.003,2; sono quattro.

Incremento utile (per proseguire) praticamente incremento seriale:

[(10⁴) 53*79*3]=125^.610^.000; 125^.610^.000>17^.066^.003,2; →

______________________________

RISPOSTA AL PROBLEMA

{∀N∈[17^.066^.003,2+(K*125^.610^.000)]}(┬)6^.003,2;

{∀N∈[17^.066^.003,2+(K*125^.610^.000)]}≡23,2(mod30);

{∀N∈[17^.066^.003,2+(K*125^.610^.000)]}≡3,2(mod53);

[la precedente è implicata dalla: ∀N≡(x₁*36,4)(mod53)];

{∀N∈[17^.066^.003,2+(K*125^.610^.000)]}≡28,2(mod79);

[la precedente è implicata dalla: ∀N≡(x₂*53,6)(mod79)];

Nelle quali vale sempre: {K∈[ ℕ ]};

altri valori notevoli sono:

x₁=(3,2/36,4)=(32/364)=(8/91);

x₂=(28,2/53,6)=(282/536)=(141/268);

____________________________________________ ____________________________________________

III PROBLEMA PROPOSTO; (Problema insolubile);

Si cerca (sempre che esista) la serie dei numeri razionali che (tutti) soddisfano le seguenti due:

(∀N+193)∈[19+(K*30)];

(∀N-78)≡13(mod70); {oppure, se si preferisce: [(∀N-78)∈[13+(K*70)]};
_________________________

Elaborazione (dei) Dati:

___________

(∀N+193)∈[19+(K*30)]; ⇒ (∀N+193-193)∈[(19-193)+(K*30)]; →

→ ∀N∈[(-174)+(K*30)]; → ∀N∈[(-24)+(K*30)]; → ∀N∈[6+(K*30)];

{giacché è evidente che (-24+30)=6};

Es.:

(es. valido per ogni K ≥ 0):

• K=7;
• N=[(-24)+(K*30)] → N=[(-24)+(7*30)]=186; →

→ 186∈[(6)+(K*30)]; e così per qualsiasi valore di (K) intero, oppure uguale zero. →

___________

→ (∀N-78)≡13(mod70); ⇒ (∀N-78+78)≡(13+78)(mod70); →

→ (∀N)≡91(mod70); → (∀N)≡21(mod70);

______________________________

TENTATIVO DI SOLUZIONE

ALGORITMO DELL’OROLOGIO (in base 70);

Incremento=30; (R.D.)=(Resto Desiderato)=21;

___________

[(30*0)+6]≡ 6(md70);

[(30*1)+6]≡36(md70);

[(30*2)+6]≡66(md70);

[(30*3)+6]≡26(md70);

[(30*4)+6]≡56(md70);

[(30*5)+6]≡16(md70);

[(30*6)+6]≡46(md70);

___________

[(30*7)+6]≡ 6(md70);

[(30*8)+6]≡36(md70);

e così di seguito all’infinito;

___________

nel precedente algoritmo (ridotto, perché presenta solo sette resti rispetto ad un massimo, teorico, di settanta) manca anche il resto (R=21). Consegue che il problema proposto non ha soluzione.

____________________________________________
____________________________________________

IV PROBLEMA PROPOSTO; (Problema insolubile);

Si cerca (sempre che esista) la serie dei numeri razionali che (tutti) soddisfano le seguenti quattro:

∀N(┬)8^.543,067;

∀N≡(x₁*49,6)(mod40); [dico: modulo quaranta].

∀N≡(x₂*73,4)(mod29);

∀N≡(x₃+43,7)(mod23);

Note:

1. I valori (x₁); (x₂); (x₃); devono essere positivi.
2. Il valore (x₁*49,6) che esprime un resto, deve tendere alla media aritmetica dei quattro valori dei resti che si ottengono dalla soluzione della seguente: {∀N≡(x₁*49,6)(mod40)};
3. Il valore (x₂*73,4) che esprime un resto, deve tendere a (15/11) della somma(toria) di tutti i resti che si ottengono dalla soluzione della seguente:

{∀N≡(x₂*73,4)(mod29)};

4. Il valore (x₃) deve essere il più piccolo possibile.

___________________________

I Preliminare:

8^.543,067(┬)(67/1^.000); ⇒

⇒ {∀N≡(x₃+43,7)(mod23)}(┬)(67/1^.000); [questo perché, evidentemente, come richiesto dal problema, alla fine dovrà essere: {∀N≡(x₃+43,7)(mod23)}(┬)8^.543,067;]; e quindi necessariamente dovrà essere:

{∀N≡(x₃+43,7)(mod23)}(┬)(67/1^.000);

siccome ogni numero intero moltiplicato 23 rende sempre un numero intero, consegue la seguente:

(x₃+43,7)(┬)(67/1^.000); (ovviamente: deve terminare con 67/1^.000); →

• 44,067>43,7;
• 44,067≃ 43,7; →

(44,067-43,7)=0,367; → (x₃ =0,367); →

→ {∀N≡(x₃+43,7)(mod23)};⇒

⇒ {∀N≡(0,367+43,7)(mod23)}; ⇒ {∀N≡44,067(mod23)}; ⇒

⇒ {∀N≡21,067(mod23)};

[si noti che: {∀N≡21,067(mod23)}(┬)(67/1^.000);].

(Qui termina il I Preliminare).

___________________________________

II Preliminare

I Parte: ricerca delle ultime tre cifre (decimali) della seguente:

{∀N≡(x₂*73,4)(mod29)};

_______________

8^.543,067(┬)(67/1^.000); ⇒

⇒ {∀N≡(x₂*73,4)(mod29)}(┬)(67/1^.000);

(ovviamente si intende: deve terminare con 67/1^.000);

[questo perché, evidentemente, come richiesto dal problema, alla fine dovrà essere: {∀N≡(x₂*73,4)(mod29)}(┬)8^.543,067;].

_______________

II Preliminare

II Parte: ricerca del resto (utile) della seguente:

{∀N≡(x₂*73,4)(mod29)}; →

_______________

→ <<Il valore (x₂*73,4) che esprime un resto, deve tendere a (15/11) della somma(toria) di tutti i resti che si ottengono dalla soluzione della seguente: {∀N≡(x₂*73,4)(mod29)}>>; [Vd. Nota 3];

__________________

I resti che si ottengono dalla soluzione della precedente (evidentemente al variare di x₂) sono 29; [Mallevadòria: “Algoritmo dell’orologio in base 29”]; essi (resti) sono raccolti nel seguente intervallo: [(0.067÷28,067) con incremento = 1]; →

• (0,067+1,067)=1,134;
• [(1,067*2,067)/2] = 1,1027445; →

→ (1,134-1,1027445)=0,0312555; →

__________

• (0,067+1,067+2,067)=3,201;
• [(2,067*3,067)/2]=3,1697445; →

→ (3,201-3,1697445)=0,0312555;

e così di seguito fino a:

Ʃ_R = (0,067+1,067+2,067+… …+28,067)=

={[(28,067*29,067)/2]+0,0312555}=(407,91174445+0,0312555)=

407,943;

_____________

oppure (e più semplicemente):

Ʃ_R = {[(28*29)/2]+(29*0,067)}=(406+1,943)=407,943; →

{Comunque effettuando la somma dei 29 resti raccolti nel seguente intervallo: [(0.067÷28,067) con incremento = 1], si ottiene: 407,943;}. →

_____________

→ ponendo:

• Ʃ_R = 407,943; →
• → (x₂*73,4) → (tende a) → (15/11)*407,943=556,2859091; →

→ 556,2859091(┬)(2859091/10⁷)≠(67/1^.000); ⇐ (cioè: implicato) dalla seguente:

⇐ {∀N≡(x₂*73,4)(mod29)}(┬)(67/1^.000);

[Vd. II Preliminare, I Parte]; →

→ 556,067<556,2859091<557,067; →

• 556,2859091-556,067=0,218909091;
• 557,067-556,2859091=0.781090909; →

→ (0,218909091+0.781090909)=1=(557,067-556,067); →

→ 0,218909091<0.781090909; ⇒

⇒ (x₂*73,4) → (tende a) → 556,2859091 → (tende a) → 556,067;

[Infatti: 556,2859091 → (tende a) → 556,067, e non tende a 557,067;]. →

→ {∀N≡(x₂*73,4)(mod29)} ⇒ {∀N≡556,067(mod29)} ⇒

⇒ {∀N≡5,067(mod29)};

(Qui termina il II Preliminare).

______________________________________

III Preliminare

È del tutto pleonastico (ma, nel presente contesto, non è del tutto vano) ricordare che ogni numero intero moltiplicato 40 rende sempre un numero che termina con la cifra zero. →

→ 8^.543,067(┬)(3,067); ⇒ {∀N≡(x₁*49,6)(mod40)}(┬)(3,067); →

→ <<Il valore (x₁*49,6) che esprime un resto, deve tendere alla media aritmetica dei quattro valori dei resti che si ottengono dalla soluzione della seguente: {∀N≡(x₁*49,6)(mod40)}>>; [Vd. Nota 2].

I quattro valori dei resti che si ottengono dalla soluzione della precedente sono:

[Incremento: (23*29*10)=6^.670]; →

[Nel precedente incremento, il fattore 10 si giustifica per il fatto che vale la seguente: {∀N≡(x₁*49,6)(mod40)}(┬)(3,067); e quindi il 3,067 non può variare; esso presenta una sola cifra intera]. →

• 8^.543,067≡23,067(mod40); R₁= 23,067;
• 15^.213,067≡13,067(mod40); R₂= 13,067;
• 21^.883,067≡3,067(mod40); R₃= 3,067;
• 28^.553,067≡33,067(mod40); R₄= 33,067;

i precedenti quattro resti [con incremento 6^.670] si ripeteranno infinitamente, e sempre nello stesso ordine.

R_{(m. a.)}=[(23,067+13,067+3,067+33,067)/4]=18.067;

imponendo: (x₁*49,6) → (tende a) → 18.067; →

18.067(┬)8.067≠(3,067); (3,067)⇐ (implicato dalla seguente):

⇐ {∀N≡(x₁*49,6)(mod23)}(┬)(3,067); →

13,067<18.067<23,067; →

• 18.067-13,067=5;
• 23,067-18.067=5;

L’impossibilità di decidere se (18,067) → (tende a) → 13,067, oppure se: (18,067) → (tende a) → 23,067, rende insolubile il problema proposto.

__________________________

Monello et F.U. (perito industriale) come amanuense.

Per ulteriori approfondimenti, vedasi il sito https://ilproblemadellalieno.wordpress.com

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